Ajouter aux FavorisPar Ian Matheson et Nancy L. Hutchinson
Les mathématiques sont une science qui étudie les propriétés d’êtres abstraits en vue de la résolution de problèmes. L’information peut être représentée par des nombres, des mots et autres symboles. La représentation de l’information à l’aide de symboles peut être un exercice difficile à comprendre et à appliquer pour les élèves ayant des troubles d'apprentissage (TA).
L’information est souvent représentée visuellement en mathématiques comme moyen d’organiser, d’élargir ou de remplacer d’autres méthodes de visualisation. La représentation visuelle implique la création et la formation de modèles illustrant l’information mathématique (van Garderen et Montague, 2003).
Les TA et la résolution de problème
Les élèves utilisent plusieurs stratégies de résolution des problèmes en mathématiques, mais les plus compétents construisent généralement une représentation du problème pour mieux l’appréhender (van Garderen et Montague, 2003). Les élèves qui ont des TA éprouvent souvent de la difficulté à résoudre des problèmes mathématiques, et les recherches semblent indiquer qu’ils diffèrent de leurs camarades (Montague, 1997) quant à :
- la fréquence d’utilisation des représentations visuelles,
- au genre de représentations employées (van Garderen et Montague, 2003)
- et à la qualité de ces représentations (van Garderen, Scheuermann et Jackson, 2012b).
La création d’une représentation visuelle pour résoudre un problème mathématique est un processus qui implique :
- le traitement de l’information contenue dans le problème,
- le tri des éléments importants et
- la définition du but du problème.
Les élèves ayant des TA butent sur la représentation visuelle en mathématiques parce qu’ils ont généralement du mal à traiter l’information (Swanson, Lussier et Orosco, 2013).
La représentation visuelle est une compétence importante car les cours de mathématiques et de sciences de niveau supérieur font de plus en plus appel à la visualisation et aux capacités de raisonnement spatial pour la résolution de problèmes (Zhang, Ding, Stegall et Mo, 2012). C’est simplement une stratégie de plus que les élèves peuvent adopter quand ils pensent au meilleur moyen de solutionner un problème mathématique.
L’importance de l’enseignement explicite
Tous les ouvrages qui portent sur la représentation visuelle en mathématiques soulignent la nécessité d’un enseignement explicite. La représentation de l’information de façon visuelle est une compétence qui ne vient pas naturellement aux élèves; ils doivent l’acquérir et la perfectionner par la pratique.
Quand on initie les élèves à une nouvelle compétence ou technique, il est important de la modéliser pour qu’ils voient comment l’utiliser et de leur donner ensuite des occasions de l’expérimenter.
La séquence pédagogique concret-représentationnel-abstrait (CRA) est une méthode d’enseignement explicite qui s’est avérée efficace chez les élèves ayant des TA, d’après les études (Doabler, Fien, Nelson-Walker et Baker, 2012; Mancl, Miller et Kennedy, 2012). Le stade « concret » consiste à utiliser des objets pour représenter les données mathématiques (p. ex. compteurs, cubes). Dans le stade « représentationnel », il s’agit de dessiner les objets qui ont été utilisés en premier lieu, et au stade « abstrait », les dessins des objets sont remplacés par des symboles et des nombres mathématiques.
L’étayage (ou échafaudage) est une autre stratégie d’enseignement de la représentation visuelle en présence de TA, dont l’utilité est corroborée par la recherche (van Garderen, Scheuermann et Jackson, 2012a). Cette technique fait appel à des appuis temporaires au cours de l’apprentissage, par exemple, on donne à l’élève un diagramme inachevé qu’il doit compléter et utiliser pour résoudre un problème.
Les modes de représentation visuelle
Quand on parle de représentation visuelle en mathématiques, il est question soit d’illustrer l’information sur papier par un graphique ou un diagramme ou de s’en faire une image mentale. Heureusement, des chercheurs se sont employés à aider les élèves à améliorer leurs capacités de visualisation tant externe (van Garderen, 2007) qu’interne (Zhang et coll., 2012). Il est important de développer des stratégies de représentation visuelle externe et interne car les deux formes facilitent l’apprentissage des mathématiques pour des problèmes différents.
En plus de faire la distinction entre la représentation interne et la représentation externe, les chercheurs ont fait ressortir les différences en termes d’imagerie visuelle selon le but recherché. L’imagerie figurative est utilisée pour représenter l’aspect visuel des objets ou des données; l’imagerie schématique sert à représenter les relations spatiales entre les objets ou les données. Les deux formes peuvent être employées pour aider les élèves à apprendre et à résoudre des problèmes mathématiques, mais l’imagerie schématique est plus efficace pour faciliter la résolution de problèmes. Les élèves ayant des TA sont plus enclins à utiliser l’imagerie figurative pour solutionner des problèmes mathématiques (van Garderen et Montague, 2003).
La représentation visuelle externe
La représentation visuelle externe en mathématiques peut se faire de plusieurs façons. Bien qu’il soit possible de représenter un ensemble de données au moyen de divers visuels, on enseigne habituellement aux élèves que certaines formes de représentations visuelles conviennent davantage à certains types d’informations.
Les diagrammes et les organisateurs graphiques sont deux outils de représentation visuelle externe employés en mathématiques, et l’utilité des deux en présence de troubles d’apprentissage est appuyée par la recherche. Ces représentations visuelles se prêtent à la modélisation, car c’est quelque chose qu’on peut afficher sur une page ou sur le tableau en avant de la classe.
Diagrammes
Les diagrammes sont des représentations visuelles des données importantes d’un problème mathématique. Ils sont le plus souvent employés pour illustrer comment les données sont reliées et peuvent servir tant à organiser l’information qu’à effectuer les opérations pour trouver la solution d’un problème. Un type de diagramme courant serait un dessin fait par un élève pour illustrer les objets dans un problème écrit, généralement sous forme de situation-problème.
La plupart des personnes qui ont des TA comprennent moins bien ce qu’est un diagramme et quand et comment s’en servir (van Garderen et coll., 2012b). Les diagrammes sont efficaces pour les élèves qui ont des TA car ils permettent de mettre en évidence les données essentielles et d’exclure les notions inutiles, ce qui simplifie la résolution de problèmes (Kolloffel et coll., 2009).
On distingue des diagrammes figuratifs et des diagrammes schématiques. Un exemple de diagramme figuratif serait un dessin des principaux objets contenus dans une situation-problème, tandis qu’un diagramme schématique serait un dessin représentant la disposition des objets les uns par rapport aux autres dans l’espace. Comme il a été mentionné plus tôt, les diagrammes schématiques sont plus utiles pour les élèves et généralement plus efficaces pour la résolution de problèmes (van Garderen et Montague, 2003).
Diagrammes Arborescents
Un diagramme arborescent (ou arbre de décision) est une façon de représenter les circonstances ou situations indépendantes en rapport avec une action; on s’en sert souvent pour enseigner la théorie des probabilités.
Ce type de diagramme peut être utilisé pour expliquer aux élèves la notion de probabilité en tirant à pile ou face ou en pigeant dans un jeu de cartes. Il est considéré comme une puissante méthode d’enseignement des probabilités en mathématiques et un excellent exemple de représentation visuelle sous forme de diagramme (Kolloffel, Eysink, de Jong et Wilhelm, 2009).
Droites Numériques
Une droite numérique est un autre outil graphique qui est de plus en plus utilisé par les mathématiciens (Gersten et coll., 2009). Il s’agit d’une ligne droite comportant des chiffres également espacés entre les points. Elle est facile à tracer et à utiliser par les élèves pour résoudre des problèmes mathématiques.
On s’en sert souvent pour enseigner les nombres entiers ainsi que les opérations simples d’addition et de soustraction car les élèves disposent d’un visuel qu’ils peuvent toucher pour suivre le fil de leur démarche.
Organisateurs graphiques
Un organisateur graphique est une autre forme de représentation visuelle externe d’usage courant en mathématiques. Il en existe plusieurs types, chacun étant adapté à des situations particulières. On pense souvent que les organisateurs graphiques sont de simples outils de planification, mais ils permettent aussi de faire des déductions rapides pour solutionner plusieurs genres de problèmes.
Les études appuient la thèse selon laquelle les élèves ayant des troubles de langage pourraient tirer profit d’une méthode d’enseignement utilisant une information non verbale comme un organisateur graphique (Ives, 2007). Qui plus est, il a été démontré que l’utilisation d’organisateurs graphiques comme soutien pédagogique augmente la compréhension des faits et la compréhension de texte chez les élèves de tout âge aux prises avec des TA (Dexter et Hughes, 2011), en plus d’approfondir la compréhension des concepts mathématiques (Ives, 2007).
Les organisateurs graphiques peuvent être très utiles pour alléger le travail d’organisation des élèves, qui ont souvent du mal à trier l’information et à visualiser les relations entre les divers objets et concepts mathématiques (Ives, 2007).
Les quatre grands types d’organisateurs graphiques applicables en mathématiques sont appelés cartes sémantiques, analyse sémantique, analyse syntaxique/sémantique et supports visuels.
Cartes Sémantiques
La carte sémantique peut être utilisée pour soutenir l’apprentissage des mathématiques et sert surtout à établir les relations entre les données conceptuelles. Elle peut s’employer pour appuyer l’enseignement des concepts mathématiques.
Une application serait comme appui auprès des jeunes élèves qui apprennent à classer les formes en catégories. Le mot « formes » peut être la vignette principale, mais il est possible d’organiser les formes en subdivisions : rondes, symétriques, à angle droit, etc.
Analyse Sémantique
L’analyse sémantique a une structure de matrice affichant les caractéristiques des objets ou des concepts. Cet organisateur graphique peut être utilisé pour comparer les formes géométriques, permettant de comparer le nombre de côtés, les sommets, les sortes d’angles, etc.
Analyse Syntaxique/Sémantique
L’analyse syntaxique/sémantique ressemble à l’analyse sémantique, sauf que des phrases sont ajoutées pour aider les élèves à identifier les attributs de chaque objet, comme par exemple : « Le ________ est la figure qui a le plus de côtés dans toutes celles que nous avons vues. »
Supports Visuels
Enfin, on peut utiliser un support visuel pour illustrer les relations spatiales de façon claire et précise. Les supports visuels ont plusieurs usages. On peut faire des comparaisons entre des objets ou des concepts à l’aide d’un diagramme de Venn ou visualiser l’information temporairement au moyen d’une frise chronologique ou ligne du temps pour déterminer la réponse à une situation-problème.
Sélection de l'organisateur graphique convenable
Tous ces organisateurs graphiques sont utiles pour l’acquisition des mathématiques par les personnes qui ont des troubles d’apprentissage, mais chacun convient davantage à certaines situations, de par sa configuration.
- Les cartes sémantiques et les analyses sémantiques sont jugées plus efficaces pour rappeler les faits, bien qu’elles soient plus difficiles à comprendre et à utiliser (Dexter et Hughes, 2011).
- Les analyses syntaxiques/sémantiques et les supports visuels s’avèrent plus pratiques pour effectuer des opérations en vue de solutionner un problème et pour rappeler les données à l’intérieur de ces types d’organisateurs graphiques (Dexter et Hughes, 2011).
Les avantages de chaque organisateur suggèrent que l’enseignement initial d’un concept mathématique se ferait mieux avec des organisateurs graphiques plus complexes et que la révision et l’étude indépendantes pourraient s’effectuer à l’aide d’organisateurs graphiques moins compliqués pour renforcer la rétention de l’information par les élèves (Dexter et Hughes, 2011).
Enseignement explicite de la représentation visuelle externe
Il ne faut pas oublier que l’enseignement explicite est nécessaire tant pour les diagrammes que pour les organisateurs graphiques. Cet enseignement doit préciser non seulement à quoi sert chaque type de représentation visuelle externe mais aussi quand et comment l’utiliser. Les deux types de représentations visuelles externes sont faciles à modéliser pour les élèves, les enseignantes et enseignants pouvant physiquement les construire et expliquer leur raisonnement, comme ils le font devant la classe.
van Garderen (2007) a évalué l’efficacité d’une stratégie en trois phases pour enseigner aux élèves ayant des TA à se servir de diagrammes en mathématiques :
- Dans un premier temps, on enseigner de façon explicite ce que sont les diagrammes ainsi que leur mode d’emploi et les situations auxquelles ils s’appliquent.
- La deuxième phase consiste à associer l’emploi des diagrammes à des problèmes écrits à une opération, alors que les élèves ont construit des diagrammes représentant les données connues et les données inconnues.
- La troisième phase traite de problèmes écrits à deux opérations comprenant plusieurs éléments d’information inconnus, les élèves ayant utilisé des diagrammes pour déterminer le but ultime de la situation-problème, de même que les éléments d’information accessoires qui leur seraient nécessaires pour arriver à la solution.
L’enseignement de l’usage des diagrammes à l’aide de cette séquence pédagogique explicite à des élèves ayant des TA a donné lieu à une amélioration du rendement et de la satisfaction des élèves, les incitant à utiliser des diagrammes avec d’autres genres de problèmes.
La représentation visuelle interne
Alors que la représentation visuelle externe se prête à la modélisation et à l’instruction explicite, la représentation visuelle interne n’est pas aussi facile à enseigner car c’est un exercice mental. La représentation visuelle schématique fait intervenir la création ou l’évocation d’une imagerie visuelle pour décrire l’information.
Les élèves sont souvent appelés à visualiser le problème pour mieux le saisir et le résoudre. Cette tâche est souvent ardue, et il ne faut pas présumer que tous les élèves possèdent déjà cette compétence.
Pour créer une image mentale dans le cadre de la résolution d’une situation-problème en mathématiques, les élèves doivent associer l’information contenue dans le problème aux connaissances sur le sujet préalablement acquises. Les élèves ne peuvent pas voir les images mentales que se forment les enseignantes et enseignants, mais il est possible de leur expliquer le processus de création de l’image mentale comme modèle verbal ou même de dessiner ce qu’ils voient dans leur tête pour rendre la pensée visible.
Cliquer ici afin d'accéder à l'article La verbalisation en résolution de problèmes mathématiques.
Un groupe de chercheurs (Krawec, Huang, Montague, Kressler, Melia de Alba, 2012) a mis au point une intervention pour encadrer les élèves atteints d’un TA durant leurs exercices de mathématiques. L’intervention visait à expliquer de façon explicite les processus cognitifs en jeu dans la résolution de problèmes mathématiques, notamment la visualisation. L’intervention a été présentée par des enseignantes et enseignants qui avaient l’habitude de suivre une séquence pédagogique comportant la visualisation. Ces personnes devaient énoncer à voix haute le raisonnement suivi pour solutionner le problème. Les élèves qui ont participé à l'intervention ont mentionné recourir à plus de stratégies pour résoudre des problèmes en math, y compris la technique de visualisation du problème (Krawec et coll., 2012).
Blocs Visuels
Une stratégie qu’utilisent les éducateurs pour aider les élèves des TA à construire des représentations visuelles internes est la représentation en blocs visuels, qui consiste à grouper les unités d’information reliées entre elles d’une certaine façon pour réduire le faisceau de données et ainsi faciliter leur traitement. Pour les élèves ayant des TA, toute réduction du volume de données à traiter peut grandement faciliter des exercices comme la résolution de problèmes mathématiques.
Une équipe de chercheurs a évalué une méthode de groupement en blocs pour les élèves qui éprouvent des difficultés en mathématiques dans le cadre d’un exercice avec des formes et des transformations géométriques (Zhang et coll., 2012). Un groupe a reçu une série d’assemblages de formes géométriques; l’autre groupe a reçu les mêmes assemblages, mais on avait hachuré ou combiné des sections pour voir si cela changeait quelque chose dans les transformations en modèles 3D. Le groupe qui a reçu l’appui par blocs d’information a obtenu de meilleurs résultats que l’autre groupe et a trouvé l’exercice plus facile avec ce soutien visuel (Zhang et coll., 2012).
représentations visuelles schématiques
Les représentations visuelles schématiques se sont révélées efficaces pour les élèves qui ont des difficultés particulières en math, pouvant inclure des troubles d’apprentissage (Swanson et coll., 2013). Enseigner aux élèves à créer des représentations visuelles internes est chose ardue car l’exercice ne se prête pas à l’emploi de techniques pédagogiques explicites. Malgré ces difficultés, les enseignantes et enseignants peuvent tout de même favoriser le développement de cette compétence en créant des schémas de leurs images mentales et en « pensant tout haut » pendant qu’ils visualisent les étapes de la résolution du problème.
Conclusion
Le recours à la représentation visuelle dans le processus enseignement-apprentissage semble être une pratique efficace pour diverses matières, dont les mathématiques (Gersten et coll., 2009). L’utilisation de la représentation visuelle seule comme méthode pédagogique améliore de façon tangible le rendement scolaire en mathématiques, mais les progrès sont encore plus substantiels quand d’autres méthodes d’enseignement sont employées parallèlement (Gersten et coll., 2009).
Il est bon de demander aux élèves de représenter l’information de façon verbale et écrite en plus de recourir à la représentation visuelle. Pour les élèves qui ont des TA, le fait de recevoir un enseignement et de résoudre des problèmes de plusieurs façons les aide à approfondir leur compréhension des concepts et des opérations mathématiques (Suh et Moyer, 2007).
On ne saurait trop insister sur l’importance d’un enseignement explicite des stratégies de représentation visuelle. La stratégie CRA est un exemple de séquence efficace pour enseigner explicitement aux élèves ayant des TA à se servir de la représentation visuelle comme palier de progression vers l’usage exclusif de symboles mathématiques (Mancl et coll., 2012).
Il y a plusieurs types de diagrammes (Kolloffel et coll., 2009) et d’organisateurs graphiques (Dexter et Hughes, 2011) qui peuvent être employés avec succès auprès des élèves ayant des troubles d’apprentissage en mathématiques. Bien que la représentation visuelle interne soit difficile à modéliser, il existe des stratégies pour soutenir les élèves au cours de l’apprentissage de cette compétence (Zhang et coll., 2012). Les enseignantes et enseignants sont encouragés à utiliser un ensemble de stratégies de représentation visuelle externe et interne dans leurs cours pour aider les élèves à maîtriser les deux types d’habiletés.
Ressources pertinentes sur le site Web de TA@l'école
Cliquer ici afin d’accéder à l’article L’utilisation efficace des diagrammes en mathématiques.
Cliquer ici afin d'accéder à l'article La verbalisation en résolution de problèmes mathématiques.
Ouvrages consultés
Dexter, D. D. et Hughes, C. A. (2011). « Graphic organizers and students with learning disabilities: A meta-analysis ». Learning Disability Quarterly, 34, p. 51-72.
Doable, C. T., Fien, H., Nelson-Walker, N. J. et Baker, S. K. (2012). « Evaluating three elementary mathematics programs for presence of eight research-based instructional design principles ». Learning Disability Quarterly, 35, p. 200-211.
Gersten, R., Chard, D. J., Jayanthi, M., Baker, S. K., Morphy, P. et Flojo, J. (2009). « Mathematics instruction for students with learning disabilities: A meta-analysis of instructional components ». Review of Educational Research, 79, p. 1202-1242.
Ives, B. (2007). « Graphics organizers applied to secondary algebra instruction for students with learning disorders ». Learning Disabilities Research & Practice, 22, p. 110-118.
Kolloffel, B., Eysink, T. H., de Jong, T. et Wilhelm, P. (2009). « The effects of representational format on learning combinatorics from an interactive computer simulation ». Instructional Science, 37, p. 503-517.
Krawec, J., Huang, J., Montague, M., Kressler, B. et Melia de Alba, A. (2012). « The effects of cognitive strategy instruction on knowledge of math problem-solving processes of middle school students with learning disabilities ». Learning Disabilities Quarterly, 36, p. 80-92.
Mancl, D. B., Miller, S. P. et Kennedy, M. (2012). « Using the concrete-representational-abstract sequence with integrated strategy instruction to teach subtraction with regrouping to students with learning disabilities ». Learning Disabilities Research & Practice, 27, p.152-166.
Montague, M. (1997). « Cognitive strategy instruction in mathematics for students with learning disabilities ». Journal of Learning Disabilities, 30, p. 164–177.
Suh, J., et Moyer, P. S. (2007). « Developing students’ representational fluency using virtual and physical algebra balances ». Journal of Computers in Mathematics and Science Teaching, 26, p. 155-173.
Swanson, H. L., Lussier, C., et Orosco, M. (2013). « Effects of cognitive strategy interventions and cognitive moderators on word problem solving in children at risk for problem solving difficulties ». Learning Disabilities Research & Practice, 28, p. 170-183.
van Garderen, D. (2007). Teaching students with LD to use diagrams to solve mathematical word problems. Journal of Learning Disabilities, 40, 540-553.
van Garderen, D., et Montague, M. (2003). « Visual-spatial representation, mathematical problem solving, and students of varying abilities ». Learning Disabilities Research & Practice, 18, p. 246-254.
van Garderen, D., Scheuermann, A., et Jackson, C. (2012a). « Developing representational ability in mathematics for students with learning disabilities: A content analysis of grades 6 and 7 textbooks ». Learning Disability Quarterly, 35, p. 24-38.
van Garderen, D., Scheuermann, A. et Jackson, C. (2012b). « Examining how students with diverse abilities use diagrams to solve mathematics word problems ». Learning Disabilities Quarterly, 36, p. 145-160.
Zhang, D., Ding, Y., Stegall, J., et Mo, L. (2012). « The effect of visual-chunking-representation accommodation on geometry testing for students with math disabilities ». Learning Disabilities Research & Practice, 27, p. 167-177.
Méthodologie
On a effectué une recherche documentaire pour trouver des articles sur ce sujet publiés dans les revues scientifiques et autres ouvrages théoriques en interrogeant les bases de données ERIC, PsycINFO, Queen’s Summons et Google Scholar. On a ensuite vérifié la pertinence du matériel extrait en analysant les données dans l’ordre hiérarchique suivant : (a) titres, (b) résumés, (c) méthodologie et (d) texte intégral.
On a également fait une recherche manuelle dans les archives des revues pertinentes allant de 2010 aux numéros plus récents, entre autres, Learning Disability Quarterly, Journal of Learning Disabilities et Learning Disabilities Research & Practice.
Ian Matheson entreprend sa deuxième année de doctorat en éducation à l’Université Queen’s avec une spécialisation en apprentissage et cognition. Au cours des deux dernières années, Ian a travaillé comme enseignant suppléant au sein du Limestone District School Board. Il est titulaire d’un brevet d’enseignement au palier élémentaire de l’Ordre des enseignantes et des enseignants de l’Ontario. Il fait partie du Centre d’éducation permanente des enseignantes et enseignants à l’Université Queen’s où il anime un cours menant à des qualifications additionnelles.
Nancy L. Hutchinson est professeure en sciences cognitives à la Faculté d’éducation de l’Université Queen’s. Sa recherche porte sur l’enseignement aux élèves ayant des troubles d’apprentissage (p. ex. mathématiques et développement de carrière) ainsi que l’amélioration de l’apprentissage en milieu de travail et de l’enseignement coopératif pour les élèves ayant un handicap et ceux présentant un risque de décrochage scolaire. Au cours des cinq dernières années, en plus de sa recherche sur la transition à la sortie de l’école, Nancy a travaillé à une recherche sur la transition à l’école des élèves ayant un handicap grave, en collaboration avec un groupe de recherche participative comprenant des chercheurs de l’Ontario, du Québec et de la Nouvelle-Écosse. Elle donne des cours sur l’éducation inclusive dans le cadre du programme de formation initiale à l’enseignement ainsi que des séminaires de doctorat sur la cognition sociale et des cours de maîtrise sur divers sujets, notamment les troubles d’apprentissage, l’inclusion et la recherche qualitative. Elle a publié six éditions d’un manuel scolaire portant sur l’enseignement aux élèves ayant des troubles d’apprentissage en classe ordinaire et deux éditions d’un recueil de cas complémentaire.
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