L’heuristique mathématique et la résolution de problèmes

Ajouter aux Favoris

Par Kyle Robinson et Nancy L. Hutchinson

Introduction

Qu’est-ce qu’un TA en mathématiques?

On estime qu’entre 5 et 8 % des élèves ont un trouble d’apprentissage (TA) en mathématiques (Geary, 2004). La définition d’un TA en mathématiques est vague et étroite, la plupart des ouvrages donnant une définition d’exclusion (ce qu’il n’est pas), contrairement aux troubles spécifiques de la lecture, qui se définissent typiquement par des difficultés de reconnaissance des mots ou de fluence de lecture (Fletcher, Lyon, Fuchs et Barnes, 2007).

On considère donc qu’un élève a un TA en mathématiques s’il accuse un déficit en compétences mathématiques, mais affiche un quotient intellectuel moyen ou au-dessus de la moyenne et une fonction sensorielle normale, reçoit un enseignement approprié à son âge et est exempt de troubles développementaux et de troubles émotionnels (Fletcher et coll., 2007, p. 207). Les TA en mathématiques peuvent être spécifiques, comme dans les cas de dyscalculie, ou plus généraux, comme le fait observer Wright (2011) :

Un type de TA en mathématiques peut provenir d’un problème de décodage du langage, un autre relèverait d’une confusion visuo-spatiale, alors qu’un autre peut englober la difficulté de retenir les faits arithmétiques et de suivre la bonne séquence procédurale. De très rares élèves sont incapables de comparer la longueur de deux bâtons ou n’ont pratiquement aucune aptitude à estimer. Enfin, certains élèves vivent un blocage émotionnel tellement envahissant qu’ils n’arrivent pas à penser de façon claire et rationnelle devant un exercice de mathématiques, ce qui constitue aussi un handicap. (Wright, 2011)

Les chercheurs font la distinction entre les TA en mathématiques et les TA en lecture, quoique les interventions utilisées dans les classes de mathématiques, par exemple, l’heuristique (décrite plus loin), ne soient pas réservées aux TA en mathématiques. Plusieurs chercheurs ont constaté qu’un grand nombre d’élèves ayant des TA, y compris des troubles spécifiques de lecture et d’écriture, éprouvent également des difficultés en mathématiques (Fuchs et Fuchs, 2003; Geary, 1993, 2004; Hutchinson, 1993).

Comment identifier l'intervention appropriée ?

Les techniques décrites dans ce résumé sont également utiles en présence de problèmes précoces non liés à des TA, car les difficultés d’apprentissage en mathématiques peuvent durer jusqu’à la fin du cycle élémentaire (Jordan, Kaplan, Ramineni et Locuniak, 2009; cité dans Mastropieri, Scruggs, Hauth et Allen-Bronaugh, 2012, p. 221).

Quand on décide de recourir à une intervention heuristique ou autre pour les TA en mathématiques, le plus important est de choisir une intervention qui est adaptée aux problèmes de l’élève.

Dans une étude réalisée par Burns (2011), des élèves ont été divisés en deux groupes, l’un recevant une intervention procédurale (maîtrise des étapes à suivre sans réexplication du concept) et l’autre une intervention conceptuelle (enseignement du concept d’une façon différente). Des progrès tangibles ont été observés lorsque l’intervention était assortie aux difficultés – une intervention procédurale est moins efficace qu’une intervention conceptuelle pour un élève qui n’arrive pas à saisir le concept. Par conséquent, le choix du type d’intervention doit absolument être précédé d’une évaluation (Burns, 2011, p. 215; voir aussi Chard, Ketterlin-Geller et Jitendra, 2008).

L’heuristique convient mieux aux élèves qui comprennent le concept mathématique mais ont du mal à retenir les étapes de la résolution d’un problème (Burns, 2011; Snyder, 1988).

Qu’est-ce que l’heuristique?

Fondamentalement, une heuristique est une méthode de calcul qui fournit rapidement une solution (Heuristique, 2014); c’est une règle permettant de réduire le nombre d’opérations mentales (ou d’étapes de traitement de l’information) pour résoudre un problème (Gray, 1994, p. 395).

L’heuristique est parfois enseignée; autrement, les élèves la découvrent eux-mêmes. Il est important de noter que l’heuristique désigne des stratégies générales qu’un élève peut utiliser par lui-même pour l’aider à cerner et résoudre un problème mathématique (Gersten et coll., 2009).

Le tutorat par des pairs, la simplification du problème par l’enseignant ou l’emploi d’outils arithmétiques (comme une calculatrice ou une règle) ne sont pas des modèles heuristiques, ni les algorithmes – par exemple, l’équation d’une droite sous la forme pente-point d’intersection (y = mx + b) (Siew, Hedberg et Lioe, 2005).

Une formule heuristique générale ressemblerait à (Gersten et coll., 2009) :

1. Lire le problème.
2. Souligner les mots clés.
3. Résoudre les problèmes.
4. Vérifier les calculs.

Le recours à une règle générale, à une estimation éclairée, au jugement intuitif, à un stéréotype ou au sens commun sont d’autres exemples d’heuristiques. L’approche heuristique la plus fondamentale est l’apprentissage par essai-erreur (Heuristique, 2014).

Les enseignants en mathématiques emploient déjà plusieurs méthodes heuristiques dans leurs classes. L’acronyme PERD (premiers, éloignés, rapprochés, derniers [en anglais FOIL]) est souvent utilisé quand il s’agit de développer une expression algébrique. PEDMAS (parenthèses, exposants, division, multiplication, addition, soustraction) est un autre acronyme qui facilite la résolution d’équations à opérations multiples.

L’heuristique dans la classe de mathématiques

La stratégie du mot-clé

La stratégie élémentaire suggérée pour les élèves présentant des TA est ce que Kelly et Carnine (1996) appellent la stratégie du « mot-clé ». Cette stratégie peut être trop simpliste et aléatoire, mais elle est souvent enseignée comme heuristique de base ou, plus souvent, les élèves l’apprennent par eux-mêmes.

Orosco (2014) a enseigné cette stratégie à des élèves qui apprenaient l’anglais et à des élèves faibles en lecture éprouvant des difficultés en mathématiques et l’a trouvée efficace comme stratégie de base. Il l’a rebaptisée « modèle mathématique dynamique » ou « modification du vocabulaire ».

L’approche par mot-clé consiste à associer des mots courants avec l’opération qu’ils représentent. Par exemple, « donner » indiquerait que la question implique une soustraction.

Exemples

Dans le problème « Annie a 10 crayons. Elle a donné 4 crayons à Megan. Combien de crayons lui reste-t-il? », cette stratégie fonctionnerait.

Mais dans un problème du genre : « Annie a donné 4 crayons à Megan et a donné 6 crayons à Manuel. Combien de crayons a-t-elle donnés? », le terme « a donné » a un sens différent et l’opération en question n’est pas une soustraction.

Comme Kelly et Carnine (1996) le mentionnent, cette approche heuristique est utile pour les élèves ayant des TA en mathématiques, mais elle est trop restreinte pour faciliter la résolution d’un grand nombre de problèmes sous forme d’énoncé (p. 1) et devrait être enseignée en dernier recours, après l’échec des autres stratégies.

Souligner les données importantes

Landi (2001) propose diverses stratégies pour simplifier un problème. Une particularité courante des problèmes à énoncé est qu’ils ont tendance à contenir des informations non pertinentes. Les élèves doivent souligner ou surligner les données importantes, simplifiant ainsi le processus.

Exemple

Les singes vivent dans les arbres et mangent des bananes. Si un singe cueille trois bananes le matin et trois l’après-midi et que son ami lui donne cinq bananes, combien de bananes le singe a-t-il à manger?

Le processus d’enseignement de cette stratégie est aussi important que son utilisation éventuelle. Landi (2001) conseille la pratique partagée, en surlignant les données importantes et en expliquant pourquoi certaines parties ont été mises en évidence et d’autres pas.

Une autre stratégie, appelée la visualisation, peut aider les élèves à suivre mentalement l’information contenue dans le problème. Pour un complément d’information sur la représentation visuelle, cliquez ici.

Mnémotechnie

L’enseignement général des mathématiques fait de plus en plus appel à la mnémotechnie, soit à un ensemble de méthodes (mnémoniques) facilitant le rappel des faits par associations d’idées. Les acronymes PERD et PEDMAS cités antérieurement illustrent bien ce concept.

Cliquer ici afin d’accéder à l'affiche du mnémonique PERDS créée par TA@l’école.

Cliquer ici afin d’accéder à l'affiche du mnémonique PEDMAS créée par TA@l’école.

Ce ne sont pas les seuls exemples – Miller et Strawser (1996) décrivent plusieurs autres mnémoniques que les chercheurs ont mises au point pour aider les élèves ayant des TA à réussir en mathématiques.

Les chercheurs Miller et Mercer (1993) ont conçu deux mnémoniques en vue d’aider les élèves à calculer un fait mathématique de mémoire, si possible, et de se servir des stratégies acquises antérieurement pour résoudre des problèmes pas encore mémorisés (p. 79). Appelées en anglais DRAW et SOLVE, ces deux mnémoniques sont utilisées pour des calculs simples, comme par exemple 6 x 8.

Cliquer ici afin d’accéder à l'affiche du mnémonique DRAW créée par TA@l’école.

Cliquer ici afin d’accéder à l'affiche du mnémonique SOLVE créée par TA@l’école.

Miller et Mercer ont perfectionné la méthode DRAW pour faciliter la résolution de problèmes sous forme d’énoncé (FAST DRAW). Les élèves peuvent utiliser le code FAST DRAW pour retenir la séquence des opérations. Cette technique est particulièrement efficace car les élèves peuvent puiser dans une stratégie existante quand ils passent de faits arithmétiques simples à des problèmes plus complexes.

Cliquer ici afin d’accéder à l'affiche du mnémonique FAST DRAW créée par TA@l’école.

Le code RIDGES a été inventé par Snyder (1988) à l’intention des élèves qui sont capables de lire et de comprendre les situations-problèmes mais qui ont de la difficulté à les représenter à l’aide d’une équation.

Cliquer ici afin d’accéder à l'affiche du mnémonique RIDGES créée par TA@l’école.

SIGNS, mis au point par Watanabe (1991) dans le cadre de sa thèse de doctorat, s’inspire de SOLVE et DRAW, mais les étapes sont différentes. Si les élèves ont de la difficulté à utiliser SOLVE ou DRAW, la mnémonique SIGNS fournit plus d’indices pour résoudre le problème.

Cliquer ici afin d’accéder à l'affiche du mnémonique SIGNS créée par TA@l’école.

Cliquer ici afin d'accéder à l'article Mnémotechnique : stratégie d’aide-mémoire.

Outil heuristique pour la résolution de problèmes

L’une des premières études sur l’usage de l’heuristique auprès des élèves atteints de TA en mathématiques qui ont à résoudre des situations-problèmes a été effectuée par Hutchinson (1993).

Vingt adolescents de 12 à 15 ans ayant des TA, accusant un retard d’au moins trois ans selon leurs résultats à un test de mathématique standard, ont été répartis entre un groupe contrôle et un groupe intervention. Les élèves du second groupe ont reçu une instruction sur la résolution de problèmes individuellement dans un centre de ressources de TA durant les heures régulières d’école (Hutchinson, 1993, p. 40).

L’intervention consistait en une série de questions que les élèves devaient se poser à deux stades :

1. au moment de représenter le problème (expression du problème sous forme d’équation) et
2. après avoir résolu le problème.

Cliquer ici afin d’accéder à la feuille de travail structurée et aux questions d’auto-interrogation pour les élèves.

Hutchinson (1993) avait au préalable présenté un modèle d’application de ces stratégies aux élèves, comme c’est souvent le cas. Les résultats ont montré que la stratégie d’instruction est une approche efficace (Hutchinson, 1993, p. 49). Les élèves qui avaient reçu un enseignement explicite ont obtenu de meilleurs résultats en général; la plupart d’entre eux sont passés d’une note de 0 sur 5 aux questions avant l’intervention à 4 sur 5 ou plus après l’intervention.

Gestion de l’angoisse des mathématiques

Les recherches indiquent que l’attitude et la confiance d’un élève jouent un rôle important dans l’apprentissage et l’acquisition de compétences en mathématiques (Mercer et Miller, 1992; National Council of Supervisors of Mathematics, 1988; National Council of Teachers of Mathematics, 1989). L’angoisse des mathématiques, courante chez les personnes qui ont des TA, est souvent à l’origine de l’aversion des élèves pour cette matière.

Kamann et Wong (1993) ont élaboré des formules d’affirmation positive à l’intention des élèves qui vivent cette anxiété, qu’ils aient des difficultés d’apprentissage ou non. Les chercheurs ont soumis 20 élèves, dont 10 atteints de TA, à un test initial pour savoir comment ils réagissaient devant des problèmes de mathématiques difficiles et frustrants. Ils ont ensuite modélisé la stratégie d’adaptation pendant la résolution d’un problème similaire. Ils ont placé devant les élèves deux gros cartons rappelant les étapes.

Le premier carton contenait la démarche d’adaptation :

1. évaluation de la situation ;
2. reconnaissance et maîtrise de la pulsion de pensées négatives ; et
3. renforcement.

Le second mentionnait les phrases types que les élèves pouvaient utiliser à chaque étape :

Conclusion

Le recours à l’heuristique, ou l’entraînement à l’auto-apprentissage, en mathématiques peut améliorer considérablement la capacité des élèves à résoudre rapidement et correctement des faits numériques et algébriques et des situations-problèmes. Les élèves qui ont des TA (restreints aux mathématiques ou plus généraux) bénéficieront particulièrement de la structure et de la logique heuristiques.

Le point important à retenir au sujet de l’heuristique est qu’il faut fournir un modèle d’application de la stratégie. Toutes les études mentionnées dans cette revue soulignent l’importance primordiale de la modélisation des interventions heuristiques par les enseignants.

Ressources pertinentes sur le site Web de TA@l'école

Cliquer ici afin d’accéder à l’article La stratégie d’enseignement concrète – représentationnelle – abstraite en mathématiques.

Cliquer ici afin d’accéder à l’article Les représentations visuelles en mathématiques.

Cliquer ici afin d’accéder à l’article L’utilisation efficace des diagrammes en mathématiques.

Cliquer ici afin d’accéder à l’article L’enseignement explicite : une stratégie d’enseignement efficace en lecture, en écriture et en mathématiques, pour les élèves ayant un trouble d’apprentissage.

Cliquer ici afin d’accéder à la vidéo Comment la conception universelle de l’apprentissage remédie aux difficultés d’apprentissage en mathématiques.

Cliquer ici afin d’accéder à l’enregistrement du webinaire L’analyse de l’erreur en mathématiques.

Suggestions de lectures

Miller, S. P. et Mercer, C. D. (1993). « Mnemonics: Enhancing the math performance of student with learning disabilities ». Intervention in School and Clinic, 29, p. 78–82. Cité comme référence à plusieurs reprises dans le présent document, cet article passe en revue l’application des cinq mnémoniques dans le domaine des mathématiques.

Mercer, C. D et Miller, S. P. (1992). Strategic math series: Levels 1 and 2.Lawrence, KS: Edge Enterprises. Ces guides, rédigés par Mercer et Miller, contiennent une foule de stratégies heuristiques destinées aux élèves pour l’apprentissage des faits arithmétiques de base. La série peut être commandée à l’adresse http://www.edgeenterprisesinc.com/.

Ouvrages consultés

Burns, M. K. (2011). « Matching math interventions to students’ skill deficits: A preliminary investigation of a conceptual and procedural heuristic ». Assessment for Effective Intervention, 36, p. 210–218.

Chard, D. J., Ketterlin-Geller, L. R. et Jitendra, A. (2008). « System of instruction and assessment to improve mathematics achievement for students with disabilities: The potential and promise of RTI ». In E. L. Grigorenko (éd.), Educating individuals with disabilities: IDEIA 2004 and beyond (p. 227–248). New York, NY: Springer.

Fletcher, J. M., Lyon, G. R., Fuchs, L. S. et Barnes, M. A. (2007). « Learning disabilities: From identification to intervention ».New York, NY: The Guillford Press.

Fuchs, L. S. et Fuchs, D. (2003). « Enhancing the mathematical problem solving of students with mathematics disabilities ». In H. L. Swanson, K. R. Harris et S. E. Graham (éd.), Handbook on learning disabilities (p. 306–322). New York, NY: Guilford.

Geary, D. C. (1993). « Mathematical disabilities: Cognitive, neuropsychological, and genetic components ». Psychological Bulletin, 114, p. 345–362.

Geary, D. C. (2004). « Mathematics and learning disabilities ». Journal of Learning Disabilities, 37, p. 4–15.

Gersten, R., Chard, D. J., Jayanthi, M., Morphy, P. et Flojo, J. (2009). « Mathematics instruction for students with learning disabilities: A meta-analysis of instructional components ». Review of Educational Research, 79, p. 1202–1242.

Gray, P. (1994). Psychology (2^e édition). New York, NY: Worth Publishers.

Heuristique. In Wikipedia. Extrait de http://fr.wikipedia.org/wiki/Heuristique.

Hutchinson, N. L. (1993). « Effects of cognitive strategy instruction on algebra problem solving of adolescents with learning disabilities ». Learning Disability Quarterly, 16, p. 34–63.

Kamann, M. P. et Wong, B. Y. L. (1993). « Inducing adaptive coping self-statements in children with learning disabilities through self-instruction training ». Journal of Learning Disabilities, 26, p. 630–638.

Kelly, B. et Carnine, D. (1996). « Teaching problem-solving strategies for word problems to students with learning disabilities ». LD Forum, 21(5), p. 5–9.

Landi, M. A. G. (2001). « Helping students with learning disabilities make sense of word problems ». Intervention in School and Clinic, 37, p.13–18, 30. DOI : 10.1177/105345120103700103

Mastrepieri, M. A., Scruggs, T. E., Hauth, C. et Allen-Bronaugh, D. (2010). « Instructional interventions for students with mathematics learning disabilities ». In B. Wong et D. L. Butler (éditeurs), Learning about learning disabilities (4^e édition) (p. 217–242). London, England: Academic Press.

Mercer, C. D. et Miller, S. P. (1992). « Teaching students with learning problems to acquire, understand, and apply basic math facts ». Remedial and Special Education, 13(3), p. 19–35, 61.

Miller, S. P. et Mercer, C. D. (1993). « Mnemonics: Enhancing the math performance of student with learning disabilities ». Intervention in School and Clinic, 29, p. 78–82.

Miller, S. P. et Strawser, S. (1996). « Promoting strategic math performance among students with learning disabilities ». LD Forum, 21, p. 34–40.

National Council of Supervisors of Mathematics. (1988). Twelve components of essential mathematics. Minneapolis, MN: Author.

National Council of Teachers of Mathematics. (1989). Curriculum and evaluation standards for school mathematics. Reston, VA: Author.

Orosco, M. J. (2014). « Word problem strategy for Latino English language learners at risk for math disabilities ». Learning Disability Quarterly, 37, p. 45–53. DOI : 10.1177/0731948713504206

Siew, J. T. Y., Hedberg, J. et Lioe, L. T. (2005, du 30 mai au 1^er juin). « A metacognitive approach to support heuristic solution of mathematical problems ». Présenté à la réunion du National Institute of Education, Singapore.

Snyder, K. (1988). « RIDGES: A problem-solving math strategy ». Academic Therapy, 23, p. 262–263.

Watanabe, A. (1991). « The effects of a mathematical word problem solving strategy on problem solving performance by middle school students with mild disabilities ».Thèse de doctorat non publiée, University of Florida, Gainesville.

Wright, C. C. (2011). Learning disabilities in mathematics. Sur le site de LDAO : http://www.ldao.ca/introduction-to-ldsadhd/ldsadhs-in-depth/articles/about-education/learning-disabilities-in-mathematics/

Kyle Robinson entame sa deuxième année du programme de maîtrise en éducation à l’université Queen’s de Kingston, concentration Inclusion des élèves en difficulté. Titulaire d’un brevet d’enseignement de l’Ontario (niveau intermédiaire-supérieur), Kyle a enseigné dans des écoles des conseils scolaires de Limestone et du district de Toronto. En plus de l’inclusion scolaire, les thèmes de recherche privilégiés de Kyle sont la psychologie des troubles d’apprentissage, les programmes d’éducation spécialisée dans les écoles secondaires et l’histoire et la philosophie de l’éducation.

Nancy L. Hutchinson est professeure en sciences cognitives à la Faculté d’éducation de l’Université Queen’s. Sa recherche porte sur l’enseignement aux élèves ayant des troubles d’apprentissage (p. ex. mathématiques et développement de carrière) ainsi que l’amélioration de l’apprentissage en milieu de travail et de l’enseignement coopératif pour les élèves ayant un handicap et ceux présentant un risque de décrochage scolaire. Au cours des cinq dernières années, en plus de sa recherche sur la transition à la sortie de l’école, Nancy a travaillé à une recherche sur la transition à l’école des élèves ayant un handicap grave, en collaboration avec un groupe de recherche participative comprenant des chercheurs de l’Ontario, du Québec et de la Nouvelle-Écosse. Elle donne des cours sur l’éducation inclusive dans le cadre du programme de formation initiale à l’enseignement ainsi que des séminaires de doctorat sur la cognition sociale et des cours de maîtrise sur divers sujets, notamment les troubles d’apprentissage, l’inclusion et la recherche qualitative. Elle a publié six éditions d’un manuel scolaire portant sur l’enseignement aux élèves ayant des troubles d’apprentissage en classe ordinaire et deux éditions d’un recueil de cas complémentaire.