Ajouter aux FavorisJeffrey MacCormack et Ian Matheson
Deux trains quittent simultanément deux villes situées à 120 kilomètres l’une de l’autre. Le premier train roule à 40 kilomètres à l’heure et le deuxième train roule à 60 kilomètres à l’heure. Dans combien de minutes vont-ils entrer en collision?
Si vous avez déjà eu à résoudre un problème écrit comme celui-ci, vous avez peut-être ressenti une certaine angoisse en essayant de comprendre le sens de la question et de choisir une stratégie de résolution de problèmes. Cela ne vous surprendra peut-être pas d’apprendre que la résolution de problèmes écrits peut s’avérer une tâche complexe pour de nombreux élèves, particulièrement pour les élèves ayant des troubles d’apprentissage (TA).
Les élèves ayant des TA sont plus susceptibles que les élèves dont le développement est typique d’avoir de la difficulté à conceptualiser et à déterminer une stratégie appropriée pour résoudre les problèmes (van Garderen, 2007). De plus, les élèves ayant des TA peuvent opter pour des stratégies de résolution moins efficaces (p. ex. par essais et erreurs), plutôt que pour des stratégies de représentation (p. ex. la création de diagrammes; van Garderen, Scheuermann et Jackson, 2012). Pour tous les élèves, l’une des stratégies les plus efficaces pour la résolution des problèmes écrits consiste à créer des diagrammes ou, tels qu’ils sont appelés dans les ouvrages, des représentations (van Garderen et Montague, 2003).
Partie 1 : L’utilité des diagrammes
La création de diagrammes pour résoudre des problèmes mathématiques peut aider les apprenants de nombreuses façons (Stylianou, 2010). Dès les premières étapes et tout au long du processus de résolution, les diagrammes peuvent servir d’outil pour enregistrer l’information au sujet du problème. Lorsque l’élève commence à conceptualiser le problème, il peut se servir des diagrammes pour explorer d’autres façons de le comprendre. Même une fois que l’élève a résolu le problème, il peut se servir des diagrammes pour contrôler et évaluer la solution.
Malgré le fait que les diagrammes soient très utiles, la création de ceux-ci peut s’avérer un processus difficile qui comporte de nombreuses étapes (van Garderen, Scheuermann et Poch, 2014). Les élèves doivent décoder l’information verbale et la traduire en information visuelle – un processus qui demande aux élèves de définir et de recenser l’information avant de la relier aux connaissances préalables. Ensuite, les élèves doivent déterminer la forme appropriée du diagramme en fonction du type de problème écrit. Après avoir sélectionné le type de diagramme à utiliser, les élèves doivent réaliser des diagrammes qui correspondent au contenu du problème écrit. Pour les problèmes écrits plus complexes, les élèves pourraient même devoir modifier le diagramme original pour y intégrer de nouveaux renseignements. Ce processus peut être épuisant sur le plan cognitif et, donc, très difficile pour les élèves ayant des TA et des troubles cognitifs (Rosenzweig, Krawec et Montague, 2011).
Cliquer ici pour lire l'article « Mémoire de travail et TA sur le site Web de TA@l’école ».
La maîtrise des diagrammes exige des compétences dans cinq domaines distincts (van Garderen et coll., 2014) :
- La compréhension conceptuelle qui englobe la compréhension de ce en quoi consiste un diagramme et de la façon de l’utiliser.
2. La maîtrise des procédures qui comporte la création d’un diagramme représentant un problème. - La compétence stratégique qui consiste à utiliser un diagramme pour représenter et résoudre un problème, ainsi que pour surveiller les progrès accomplis.
- Le raisonnement adapté qui consiste à expliquer l’utilité du diagramme pour résoudre le problème.
- Enfin, la disposition productive qui consiste à reconnaître la valeur des diagrammes pour résoudre les problèmes et à avoir la confiance de les utiliser lorsque cela est approprié.
Les élèves ayant des TA et l’utilisation des diagrammes
Les élèves ayant des TA utilisent les diagrammes moins efficacement que leurs pairs pour résoudre des problèmes écrits en mathématiques (van Garderen et coll., 2012). En outre, les diagrammes réalisés par les élèves ayant des TA semblent être d’une qualité inférieure à celle des diagrammes de leurs pairs, et les élèves ayant des TA utilisent les diagrammes d’un moins grand nombre de façons que leurs pairs (van Garderen et Montague, 2003). Heureusement, des recherches ont démontré que, lorsqu’on enseigne explicitement aux élèves ayant des TA comment créer et utiliser des diagrammes, ceux-ci sont capables d’apprendre des stratégies de représentation (p. ex. Hutchinson, 1986).
Bien que l’utilisation de diagrammes soit une stratégie utile pour résoudre des problèmes écrits pour les élèves ayant des TA, la mise en œuvre de la stratégie comporte ses propres difficultés. Si les élèves ont peu de connaissances procédurales et conceptuelles, ils pourraient avoir plus de difficultés à créer et à utiliser des diagrammes efficaces (van Garderen et Scheuermann, 2015). En outre, les élèves ont besoin d’utiliser les fonctions exécutives pour cibler leur attention et laisser de côté les détails sans intérêt lorsqu’ils conçoivent un diagramme (Uesaka et Manalo, 2012). Ces processus exigent des efforts et, comme pour toutes les stratégies, si le gain relatif perçu n’en vaut pas la peine, les élèves éviteront d’utiliser les diagrammes (Uesaka et Manalo, 2012; van Garderen et Scheuermann, 2015).
Le problème fondamental pour tous les élèves, et particulièrement pour ceux ayant des TA, est la difficulté de rendre les diagrammes efficaces. Avant que les élèves puissent concevoir un diagramme, ils doivent être capables de visualiser le problème – une habileté développementale qui, en général, arrive à maturité entre l’âge de 8 et 11 ans (van Garderen et Montague, 2003). Toutefois, même si les élèves sont en mesure de visualiser le problème, la transposition de cette visualisation en images externes (p. ex. faire des diagrammes sur papier) est problématique. Il peut aussi arriver que les élèves n’enregistrent pas l’information de façon efficace parce qu’ils se sont concentrés sur des détails sans intérêt, ont inscrit de l’information erronée sur le diagramme ou ont exclu de l’information importante. Le plus grave problème, c’est que les élèves peuvent considérer les diagrammes comme de simples représentations visuelles du problème et ne pas comprendre qu’ils présentent des renseignements relationnels et quantitatifs au sujet du problème.
Partie 2 : Comment enseigner aux élèves à utiliser des diagrammes pour résoudre des problèmes
Selon van Garderen et Scheuermann (2015), enseigner aux élèves à utiliser les diagrammes pour résoudre des problèmes écrits compte deux phases distinctes. Avant d’apprendre à utiliser les diagrammes pour la résolution des problèmes, les élèves doivent apprendre à les créer. Ils doivent savoir que, comme il a été mentionné plus tôt, les diagrammes efficaces sont bien davantage que des représentations visuelles des objets contenus dans le problème écrit. Sans un enseignement direct sur les diagrammes, les élèves pourraient ne pas bien comprendre la façon de les utiliser, une capacité appelée métareprésentation. La capacité métareprésentationnelle est ce qui permet à l’élève d’appliquer ses connaissances au sujet des diagrammes pour sélectionner, réaliser et utiliser des diagrammes pour la résolution de problèmes mathématiques (van Garderen, Scheuermann et Jackson, 2012).
Pour aider les élèves à développer leur capacité métareprésentationnelle, les enseignantes et enseignants doivent préciser (a) en quoi consiste les diagrammes, (b) les raisons pour lesquelles on utilise les diagrammes, (c) les situations dans lesquelles on doit les utiliser, (d) le type de diagramme qui convient à un problème de mathématique en particulier, (e) la façon de créer un diagramme et (f) la façon d’utiliser un diagramme. Il est important que les élèves aient une vaste conception des diagrammes, car alors que certains problèmes se prêtent naturellement à l’utilisation de diagrammes, d’autres ne s’y prêtent pas du tout. Par exemple, les élèves utilisent plus souvent les diagrammes pour résoudre des problèmes écrits liés à la longueur et à la distance que pour résoudre des problèmes spatiaux (Uesaka et Manalo, 2012). Un enseignement direct sur la création des diagrammes est important pour les élèves ayant des TA, puisque les diagrammes doivent être considérés comme un élément intégré au processus de résolution du problème et non pas comme une étape finale (van Garderen, 2007).
Les élèves doivent apprendre que les diagrammes sont bien plus que de simples dessins. Les diagrammes inefficaces, appelés diagrammes figuratifs dans les ouvrages, dépeignent l’apparence visuelle des variables dans le problème écrit (p. ex. le dessin d’un personnage dans un problème écrit; p. ex. van Garderen et Montague, 2003). Les diagrammes efficaces (appelés diagrammes schématiques) vont au-delà de la visualisation des objets contenus dans le problème; ils représentent le contenu du problème et illustrent l’information relationnelle (van Garderen, 2007). Les diagrammes schématiques sont extrêmement utiles pour les problèmes écrits en mathématiques, et il est possible de les transférer à tous les sujets en mathématiques, y compris la géométrie et la probabilité, et à toutes les années d’études (Zahner et Corter, 2010).
Une fois que les élèves comprennent que les diagrammes sont des outils cognitifs qui remplacent et expriment un processus de réflexion, ils doivent apprendre à les utiliser pour résoudre des problèmes mathématiques. Durant la deuxième phase, les élèves doivent apprendre que l’utilisation de diagrammes nécessite un processus en trois étapes :
(a) Demander : se concentrer sur ce qui doit être fait
(b) Faire : agir et/ou produire
(c) Vérifier : confirmer le diagramme pour faciliter la résolution du problème
Bien que ces étapes semblent linéaires, les élèves doivent savoir qu’elles sont itératives (van Garderen et Scheuermann, 2015).
Partie 3 : Exemples de diagrammes figuratifs et de diagrammes schématiques
Les quatre problèmes écrits ci-après sont inclus pour illustrer les différences entre les diagrammes figuratifs et les diagrammes schématiques. Les diagrammes ci-après démontrent qu’ils servent à faire bien davantage que de visualiser les problèmes; ce sont des outils qui permettent de résoudre les problèmes.
Le magasin de bandes dessinées se trouve à 4,4 kilomètres à l’ouest de la maison de Véra. Le magasin de jeux vidéo se trouve à 2,8 kilomètres à l’ouest de la maison de Véra. À quelle distance le magasin de bandes dessinées se trouve-t-il du magasin de jeux vidéo?
Diagramme figuratif
Les élèves ayant des TA peuvent faire l’erreur de trop se concentrer sur les détails du dessin. Cet élève a peut-être passé trop de temps à dessiner les édifices et à inclure de l’information inutile, telle que le compas. L’attention inutile accordée aux détails est peut-être la raison pour laquelle l’élève a fait une erreur en inscrivant les distances.
Diagramme schématique
Cet élève a utilisé un diagramme qui comprend les mesures de longueur. En incluant l’information relationnelle, telle que la distance sur la ligne des chiffres, cet élève a pu conceptualiser le problème et le résoudre plus facilement.
En préparant cinq pizzas-bagels pour ses quatre amies et elle-même, Leyla en fait brûler deux accidentellement. Elles doivent maintenant se partager les pizzas-bagels qui restent. Quelle est la plus grosse portion de pizza-bagel que chaque personne peut manger si elles ont toutes la même portion?
Diagramme figuratif
Les élèves sont plus susceptibles d’utiliser intuitivement des diagrammes pour résoudre certains types de problèmes. Par exemple, les problèmes écrits qui concernent la distance (le problème écrit précédent) et le partage d’entiers (la présente question) sont plus faciles à imaginer parce qu’ils traitent de quantités et de rapports concrets. Malheureusement, lorsque les élèves ayant des TA essaient de faire un diagramme du problème, ils ont tendance à se contenter de dessiner les objets contenus dans le problème. Cet élève savait qu’il devait diviser trois objets parmi cinq personnes, mais il ne savait pas comment utiliser un diagramme pour étoffer sa réflexion.
Diagramme schématique
Même si les élèves ont plus de difficultés à concevoir que l’on peut diviser trois bagels en cinquièmes, ils peuvent être en mesure d’imaginer les cinq amies tirant toutes sur le même bagel en même temps. En utilisant un diagramme pour illustrer les amies partageant chaque bagel, l’élève peut se rendre compte que, lorsqu’on divise les bagels en parts égales, chaque amie peut prendre un cinquième de chacun des trois bagels, pour un total de trois cinquièmes. Il est également important de noter que, en ne dessinant pas les visages de Leyla et de ses amies, l’élève a pu exclure l’information visuelle qui n’était pas nécessaire pour résoudre le problème. Au lieu de dessiner des visages, l’élève a utilisé des chiffres (de 1 à 5) pour représenter les amies, simplifiant ainsi la visualisation.
Le mois dernier, une animalerie a vendu quatre fois plus de chatons que de lézards. Si l’animalerie avait vendu 18 lézards de plus le mois dernier, le nombre de chatons et de lézards vendus aurait été le même. Combien de chatons l’animalerie a-t-elle vendus le mois dernier?
Diagramme figuratif
Pour les élèves, c’est généralement plus difficile de faire un diagramme pour les problèmes écrits contenant des rapports que pour les problèmes écrits contenant des distances. La façon d’inclure l’information relationnelle n’est pas toujours claire. Bien que cet élève ait été en mesure de visualiser qu’un lézard a été vendu pour chaque quatre chatons vendus, il n’a pas été en mesure de déterminer comment cette information était reliée aux 18 lézards supplémentaires qui auraient égalé les quantités.
Les barres sont une façon d’inclure l’information relationnelle dans un diagramme, tel qu’il est illustré ici. À cette étape-ci, l’élève ne connaît peut-être pas la quantité de chacune des barres, mais il utilise les barres pour représenter une quantité inconnue. L’élève a été en mesure de visualiser que quatre fois plus de chatons que de lézards ont été vendus, et que la différence entre les deux quantités est 18.
Diagramme schématique
L’élève sait que, parce que trois des barres représentent 18 animaux de compagnie, chaque barre doit représenter 6 animaux de compagnie. Le diagramme, maintenant terminé, a aidé l’élève à visualiser la question et lui a aussi fourni une stratégie visuelle pour résoudre le problème.
Ces visualisations de quantités inconnues peuvent être un premier pas vers la compréhension des formules algébriques.
Ahmed participe à un triathlon de 78 kilomètres. Il doit parcourir une distance de 3 kilomètres à la nage. La distance qu’il doit parcourir à vélo est quatre fois plus grande que celle qu’il doit parcourir à la course. Quelle distance parcourra-t-il en vélo durant le triathlon?
Diagramme figuratif
Pour ce problème écrit, l’élève a dessiné une ligne de distance parce qu’il a reconnu que la distance est une variable pertinente. Heureusement, l’élève a été en mesure d’utiliser la ligne pour résoudre la première étape du problème (c.-à-d., trouver la distance qui n’a pas été parcourue à la nage). Toutefois, il n’a pas été en mesure d’utiliser le diagramme pour résoudre la deuxième étape du problème (c.-à-d., déterminer la distance qui a été parcourue en vélo).
Dans cet exemple, l’élève utilise deux types de visualisation pour résoudre le problème. Comme dans la réponse du problème précédent, cet élève a dessiné une ligne pour montrer les distances parcourues à la nage et non parcourues à la nage. Pour la deuxième étape du problème, l’élève a créé des barres relationnelles (au bas du diagramme) pour montrer que l’athlète a parcouru à vélo une distance quatre fois plus grande que celle qu’il a parcourue à la course, et que la distance totale était de 75 kilomètres. Une fois de plus, le diagramme permet de faire bien plus que de visualiser le problème; il permet de le résoudre.
Les diagrammes peuvent s’avérer une stratégie très utile pour la résolution des problèmes écrits, mais, surtout, ils permettent aux élèves de réfléchir et de résoudre des problèmes de façons différentes. Les diagrammes peuvent aider les élèves ayant des TA à organiser l’information, à planifier une solution et à mettre en œuvre cette solution – tous des processus qui ont leur lot de difficultés! En tant que stratégie de résolution de problèmes, l’utilisation des diagrammes est hautement adaptable et dynamique, et elle offre aux professionnels de l’enseignement une excellente occasion de surveiller la façon dont les élèves réfléchissent et de leur offrir un soutien au besoin. Bien que l’enseignement de l’utilisation efficace des diagrammes puisse prendre du temps, les gains sont durables et la stratégie peut faire toute la différence pour certains élèves.
Ouvrages consultés
Hutchinson, N. L. (1986). Instruction of representation and solution in algebraic problem solving with learning disabled adolescents (thèse de doctorat non publiée). Université Simon Fraser, Vancouver (C.-B.)
Rosenzweig, C., Krawec, J. et Montague, M. (2011). Metacognitive strategy use of eighth-grade students with and without learning disabilities during mathematical problem solving: A think-aloud analysis. Journal of Learning Disabilities, vol. 44, p. 508-520. doi : 10.1177/0022219410378445
Stylianou, D. (2010). Teachers’ conceptions of representation in middle school mathematics. Journal of Mathematics Teacher Education, vol. 13, p. 325–434. doi : 10.1007/s10857-0109143-y.
Uesaka, Y. et Manalo, E. (2012). Task-related factors that influence the spontaneous use of diagrams in math word problems. Applied Cognitive Psychology, vol. 26, p. 251–260. doi : 10.1002/acp.1816
van Garderen, D. (2007). Teaching students with LD to use diagrams to solve mathematical word problems. Journal of Learning Disabilities, vol. 40, p. 540–553. doi : 10.1177/00222194070400060501
van Garderen, D. et Montague, M. (2003). Visual-Spatial Representation, Mathematical Problem Solving, and Students of Varying Abilities. Learning Disabilities Research & Practice, vol. 18, p. 246–254. doi : 10.1111/1540-5826.00079
van Garderen, D. et Scheuermann, A. (2015). Diagramming word problems: A strategic approach for instruction. Intervention in School and Clinic, vol. 50, p. 282–290. doi : 10.1177/1053451214560889
van Garderen, D., Scheuermann, A. et Jackson, C. (2012). Examining how students with diverse abilities use diagrams to solve mathematics word problems. Learning Disability Quarterly, vol. 36, p. 145–160. doi : 10.1177/0731948712438558
van Garderen, D., Scheuermann, A. et Poch, A. (2014). Challenges students identified with a learning disability and as high-achieving experience when using diagrams as a visualization tool to solve mathematics word problems. ZDM Mathematics Education, vol. 46, p. 135–149. doi : 10.1007/s11858-013-0519-1
Zahner, D. et Corter, J. E. (2010). The process of probability problem solving: Use of external visual representations. Mathematical Thinking and Learning, vol. 12, p. 177–204. doi : 10.1080/10986061003654240
Ressources connexes de TA@l’école
Cliquer ici afin d’accéder à un article, «Je calcul jusqu’à 99» sur le site de TA@l’école.
Jeffrey MacCormack
Jeffrey est un étudiant de troisième cycle à la Faculté d’éducation de l’Université Queen's, avec une spécialisation en cognition. Il est titulaire d’un brevet de l’Ordre des enseignantes et des enseignants de l’Ontario et compte neuf années d’expérience en enseignement au palier élémentaire. Il a occupé le poste de chargé de cours à l’Université Queen's et a conçu et donné des cours en ligne à l’intention des professionnels de l’enseignement. Il effectue actuellement une recherche qui porte sur plusieurs sujets, dont les troubles d’apprentissage, l’autisme, le bien-être affectif et le développement des jeunes.
Ian Matheson
Ian Matheson entreprend sa deuxième année de doctorat en éducation à l’Université Queen’s avec une spécialisation en apprentissage et cognition. Au cours des deux dernières années, Ian a travaillé comme enseignant suppléant au sein du Limestone District School Board. Il est titulaire d’un brevet d’enseignement au palier élémentaire de l’Ordre des enseignantes et des enseignants de l’Ontario. Il fait partie du Centre d’éducation permanente des enseignantes et enseignants à l’Université Queen’s où il anime un cours menant à des qualifications additionnelles.
Ecrire un commentaire
Vous devez être identifié pour poster un commentaire.