Enseigner les Fractions pour une Compréhension Conceptuelle

Par Gabrielle Adams et Dominic Voyer

De nombreux écrits, qu’ils soient scientifiques, professionnels ou ministériels, évoquent les difficultés liées à l’enseignement des fractions. Plusieurs recherches, récentes et anciennes, font notamment état de cette complexité à comprendre et à enseigner la notion de fraction, principalement à cause de l’envergure de son champ conceptuel et des différents sens que peut prendre la fraction.

De même, les fractions représentent aussi l’une des notions les plus difficiles que les élèves aient à apprendre et de nombreux élèves n’atteignent pas les objectifs fixés au terme du primaire. Des auteurs comme Van de Walle et Lovin (2008) mentionnent que l’apprentissage des fractions pose des défis considérables aux élèves, même au secondaire. En effet, leur compréhension s’échelonne sur plusieurs années, celle-ci étant « accompagnée d’un cortège d’erreurs, témoins de la complexité de ce processus » (Blouin, 2002, p. 6). Des études indiquent que la plupart des élèves finissent par apprendre les algorithmes liés aux opérations sur les fractions, mais qu’ils n’arrivent pas à en développer une compréhension conceptuelle, même à l’âge adulte. C'est le cas de celles de Vermette et Blouin (2016), de Blouin (2002) et de Jordan et al. (2013). D’ailleurs, les erreurs liées aux fractions recensées par Ashlock (2006) sont en partie dues au fait que les élèves utilisent des connaissances procédurales (connaissance des algorithmes) plutôt qu'une combinaison de connaissances procédurales et conceptuelles pour résoudre les problèmes sur les fractions.

Plusieurs difficultés concernant l’acquisition de la notion de fraction proviendraient notamment des consignes données aux élèves et du matériel utilisé (Alahmadati, 2016; Morales, 2014), alors que la principale raison avancée pour expliquer les difficultés des élèves avec les fractions est l’utilisation d’un enseignement trop procédural, au détriment d’un enseignement conceptuel, puisque ce premier est centré sur les opérations sur les fractions, en ignorant la compréhension de ses fondements (Alahmadati, 2016; Vermette et Blouin, 2016).

Pourtant, le Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 6^e année (Ministère de l’Éducation de l’Ontario, 2006) soutient qu’un enseignement efficace repose sur la compréhension conceptuelle.

Sachant que les fractions sont complexes à comprendre et difficiles à enseigner, comment est-il possible de mettre en place un enseignement qui vise leur compréhension conceptuelle ? Afin de soutenir les enseignant·es dans leur propre appropriation du concept de la fraction, l’article détaillera d’abord la définition de fraction et de compréhension conceptuelle. Ensuite, cet article se veut une proposition pratique qui mettra en lumière des stratégies d’enseignement qui favorisent une compréhension conceptuelle des fractions.

1. Qu’est-ce qu’une fraction ?

Pour simplifier, nous pouvons dire que la fraction comporte deux aspects : un partage et un choix. Plus formellement, une fraction est définie comme un rapport entre deux entiers sous la forme a/b où b est différent de zéro. L'écriture d'une fraction comprend le numérateur, le dénominateur et la barre de fraction qui les sépare. Le dénominateur représente le nombre de parts égales dans lesquelles la quantité est divisée (le partage). Le numérateur, pour sa part, indique le nombre de parts considérées (le choix). Par exemple, dans 3/4, le dénominateur est 4, ce qui signifie que l'on divise quelque chose en quatre parties égales et que l’on considère 3 de ces 4 parts.

2. Qu’est-ce que la compréhension conceptuelle ?

En mathématiques, la compréhension conceptuelle vise à acquérir une compréhension intégrée et fonctionnelle des concepts mathématiques (Cheng, 1999; Kilpatrick et al., 2001) et permettant de comprendre l’interrelation des concepts avec les procédures mathématiques (Birgin et Uzun Yazıcı, 2021; O’Grady et al., 2019; Rittle-Johnson et al., 2001).

Au sein du Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 6^e année (Ministère de l’Éducation de l’Ontario, 2006), la compréhension conceptuelle est exemplifiée de cette façon :

L’élève se souvient de ce qui a du sens. Si l’élève maîtrise un concept, il ou elle peut résoudre un problème même s’il ou elle oublie la procédure. Par exemple, l’élève qui a oublié ce que font 6 x 8, mais qui comprend le concept de multiplication, peut faire un lien avec une multiplication connue, comme 5 x 8, et ensuite ajouter un 8. L’élève qui ne comprend pas le concept donnera une réponse dont il ou elle se souvient vaguement, telle que 68, sans même se questionner sur la vraisemblance de sa réponse.

En d’autres termes, l’élève qui possède une compréhension conceptuelle sait « quoi », « pourquoi » et « comment » il utilise une notion mathématique, car il en comprend les fondements.

2.1 Compréhension conceptuelle des fractions

Une compréhension conceptuelle des fractions apparaît importante, car celle-ci est tributaire à la compréhension de notions ultérieures en mathématiques, notamment l’algèbre (Morales, 2014; Siegler et al., 2013). Développer une compréhension conceptuelle des fractions permet notamment de comprendre le lien qui unit le numérateur et son dénominateur, soit de comprendre le partage équitable des parties du tout et le choix qui est fait. En somme, lorsque la compréhension des fondements de la fraction est développée, une personne est désormais en mesure de comprendre les opérations sur les fractions, pourquoi elles fonctionnent et comment elles fonctionnent.

3. Comment, à travers notre enseignement, peut-on favoriser la compréhension conceptuelle des fractions ?

En tant qu’enseignant·e du primaire, il est possible de mettre en place différentes approches pour favoriser la compréhension conceptuelle des fractions. Dans cette section, nous proposerons des pistes didactiques pour soutenir les praticien·nes dans leur propre développement de la compréhension conceptuelle des fractions.

3.1 Pistes didactiques

3.1.1 Proposer des situations authentiques et accessibles

Pour chaque tâche mobilisant des fractions, il nous apparaît essentiel de proposer des tâches réalistes, soutenues par du matériel de manipulation adapté à la situation, qui nécessitent la participation active des élèves.

Sachant que l’être humain est un être gourmand et généralement équitable, les enfants se feront un malin plaisir à partager équitablement des desserts alléchants. L’utilisation de contextes où la nourriture intervient est souvent gagnante. L’enseignant·e peut, par exemple, proposer des contextes qui permettent aux élèves de réfléchir de manière conceptuelle aux fractions, sans faire intervenir des règles ou des algorithmes. L’enseignant·e peut proposer des situations où le groupe réfléchit ensemble, à l’oral, et invite ses élèves à utiliser du matériel de manipulation pertinent pour soutenir leur compréhension des situations présentées (voir les exemples a à c).

Si un·e enseignant·e souhaite élaborer une leçon portant sur la comparaison de fractions ayant un numérateur identique, il faut considérer que la façon de représenter la fraction peut influencer le processus de compréhension des élèves, tel qu’illustré dans l’exemple a).

a) L’enseignant·e représente la fraction 2/5 d’un gâteau de fête au tableau en soulignant que deux parties du gâteau auparavant séparé en cinq parties égales ont été mangées.

L’enseignant·e questionne ensuite ses élèves : « Si je mange encore deux parties du gâteau (je conserve mon choix), mais que le gâteau est divisé en plus de parties égales (j’augmente le dénominateur), que se passera-t-il? ».

Il est attendu que les élèves disent que l’enseignant·e mangera moins de gâteau, et ce, même si le nombre de parties mangées (numérateur) reste le même dans les deux cas. En effet, dans la deuxième situation, les parties sont plus petites, donc la quantité mangée est moins grande que dans la première situation.

Pour soutenir son discours, l’enseignant·e peut utiliser des dessins. Or, dans la Figure 2, référer au sens « partie d’un ensemble » pour comparer 2/5 et 2/10 n’aide pas l’élève à comprendre clairement pourquoi ajouter des fraises à l’ensemble (augmenter le dénominateur) fait en sorte que la fraction est plus petite. Cependant, cette relation apparaît plus évidente lorsque la représentation « partie d’un tout » est proposée (voir Figure 3). Au début de l’apprentissage des fractions, il apparaît donc davantage pertinent d’utiliser un sens de la fraction qui soutient la compréhension conceptuelle.

Figure 2 : Comparaison de fractions ayant le même dénominateur (partie d'un ensemble)

Figure 3 : Comparaison de fractions ayant le même dénominateur (partie d'un tout)

b) L’enseignant·e représente encore la fraction 2/5 d’un gâteau de fête au tableau en soulignant que deux parties du gâteau séparé en cinq parties ont été mangées.

L’enseignant·e questionne ensuite ses élèves : « Si je mange maintenant quatre parties du gâteau (j’augmente le nombre de parties dans mon choix), mais que le gâteau reste divisé en cinq parties égales, comme au départ, que se passera-t-il? ».

Il est attendu que les élèves disent que l’enseignant·e mangera plus de gâteau dans la deuxième situation, car les parties sont de même taille dans les deux situations et, donc, si on ne fait qu’augmenter le nombre de parties mangées, une quantité plus grande sera mangée.

c) L’enseignant·e représente encore la fraction 2/5 d’un gâteau de fête au tableau en soulignant que deux parties du gâteau séparé en cinq parties ont été mangées. L’enseignant·e questionne ensuite ses élèves : « Si ma mère souhaite diviser le gâteau en 10 parties égales plutôt que 5. Combien devrais-je manger de parties maintenant pour manger la même quantité de gâteau qu’au départ? ».

Il est attendu que les élèves disent que l’enseignant·e devra manger quatre parties égales du gâteau maintenant séparé en dix parties, car si on divise chaque portion initiale en deux, je dois en manger deux fois plus pour consommer la même quantité.

En somme, il est souhaitable d’utiliser des contextes réels ou motivants pour solliciter la réflexion et la participation active des élèves dans le développement de leur compréhension conceptuelle des fractions. L’utilisation de règles ou d’algorithmes pour de telles situations n’est pas nécessaire et viendrait même brimer les élèves dans leur processus de compréhension des fractions. L’étude prématurée des règles de calcul sur des fractions présente plusieurs inconvénients majeurs. Aucune règle n’aide les élèves à réfléchir sur les opérations et leur signification ni ne permet de vérifier si les résultats obtenus ont du sens. Par ailleurs, une maitrise superficielle des règles constitue un accomplissement à court terme et éphémère. La présentation simultanée de la myriade de règles relatives aux opérations sur les fractions aboutit rapidement à un fouillis dénué de sens (Van de Walle et Lovin, 2008, p. 169).

3.1.2 Arrimer l’enseignement au programme de formation

Il nous apparaît aussi essentiel de s’assurer que les leçons et les exercices proposés aux élèves soient en cohérence avec le programme de formation.

À l’instar de Van de Walle et Lovin (2008) qui soulèvent que « les programmes traditionnels du début du primaire accordent généralement très peu d’importance à l’exploration des fractions avant la quatrième année » (p. 137), Adams et Oliveira (2023) ont relevé que les douze cahiers d’exercices en mathématiques analysés n’abordent pas du tout les fractions en 1^re année, puis très peu en 2^e et en 3^e année du primaire. Ce constat est inquiétant puisque les fractions sont au programme dès la 1^re année du primaire, au Québec et en Ontario.

Il importe donc de s’assurer que les tâches que l’on propose à nos élèves soient en cohérence avec le programme. Il est à noter qu’il est possible de proposer des tâches d’un niveau supérieur à ses élèves, mais il importe surtout que l’évaluation de ce savoir soit alors faite uniquement au moment opportun.

3.1.3 Proposer du matériel de manipulation signifiant

Pour chaque tâche mobilisant des fractions, il est souhaitable d’utiliser du matériel de manipulation concret, et ce, jusqu’à la fin du primaire (voire du secondaire !). En effet, Voyer et ses collaboratrices (2023) soutiennent que la représentation symbolique (usage formel des règles et des conventions) devrait être mise de l’avant seulement à la fin d’un apprentissage et qu’elle devrait surtout être présentée en parallèle avec du matériel concret ou imagé, et ce, tout au long du primaire. Considérant que les fractions représentent l’une des notions les plus difficiles à apprendre pour les élèves, il apparaît effectivement pertinent de permettre aux élèves d’établir des liens entre le matériel concret et une représentation symbolique des fractions pour favoriser leur compréhension.

Cependant, comme Van de Walle et Lovin (2008) le mentionnent :

« Malheureusement, en cinquième et en sixième année, il est moins courant d’utiliser du matériel de manipulation et certaines enseignantes ne pensent pas à se servir de modèles pour aider les élèves à construire les concepts sur les fractions. Pourtant, ces modèles contribuent à illustrer les idées que les procédés purement symboliques n’arrivent pas à clarifier. » (p. 140).

Ces auteurs soulignent ici l’importance de varier l’utilisation du matériel concret dans l’apprentissage des fractions, notamment en variant les modèles proposés aux élèves : modèles de surfaces, modèles de longueurs et modèles d’ensembles. Une liste de matériel pour les fractions a été dressée ci-dessous afin de soutenir les enseignant·es dans la diversification du matériel de manipulation pour cette notion. La liste comprend à la fois du matériel concret [1] et des versions numériques qui, sans être du matériel concret, offrent une possibilité d’interaction.

Modèles de surfaces (aires)

Mosaïques fractionnaires / blocs mosaïques
- L’application ou la version web Pattern Shapes de Math Learning Center
Modèle circulaire classique vierge
Modèle circulaire classique avec fractions inscrites (ou alternatives semblables : pizza, fruits, anneaux de fractions, etc.)
- L’application ou la version web Fractions de Math Learning Center
Géoplan
- L’application ou la version web Geoboard de Math Learning Center
Papier quadrillé ou autres grilles
Carrés de fractions
Jeux sur les fractions (p. ex. Fraction Fortress, Pizza fractions, ensemble de dés en mousse de fractions)

Exemples Matériels 2, 3 et 6

Modèles de longueurs

Droites numériques de fractions
- L’application ou la version web Number Line de Math Learning Center
Bandes fractionnaires
- L’application ou la version web Fractions de Math Learning Center
Bandes de fractions vierges
Tours de fractions
Réglettes Cuisenaire
Jeux sur les fractions (p.ex. Formule fraction)

Exemples Matériels 8 et 11

Modèles d’ensembles

Jetons deux couleurs
Gommes à effacer amusantes
Toute autre collection d’objets identiques ou non

Exemples Matériel 15

Autres ressources

Balance de fractions
Ensemble pour les fractions équivalentes
Fractions de pommes magnétiques
Application Slice Fractions
Leçons sur les fractions disponibles gratuitement sur la plateforme Desmos [2]

Exemples Matériels 18 et 19

CONCLUSION

À la lumière de ce qui a été présenté dans cet article, nous rappelons qu’il est essentiel de prendre soin de ne pas tomber dans le « piège de la procédure » avec les fractions, car un enseignement trop rapidement centré sur les démarches ou les méthodes algorithmiques privera les élèves de naturellement chercher à comprendre les différents sens de la fraction, par la manipulation et la résolution de problèmes. Par ailleurs, le début du primaire constitue une étape charnière dans la découverte des fractions qui permet de construire les bases d’une compréhension conceptuelle.

[1] Nous invitons les enseignant·es à consulter le document Ma boite à outils en mathématique – Des outils qui appuient le raisonnement et l’apprentissage en mathématique de la maternelle à la 4^e année réalisé par le ministère de l’éducation du Manitoba et l’ouvrage La manipulation en mathématique au cœur des apprentissages écrit par Caroline Charbonneau pour en apprendre davantage sur les possibilités d’utilisation des différents matériels de manipulation proposés dans cet article.

[2] Nous invitons toujours à la prudence sur ce genre de plateforme afin de s’assurer de la qualité de la leçon trouvée avant de la présenter à ses élèves.

Références

Adams, G. et Oliveira, I. (2023). Analyse de manuels scolaires en mathématiques au primaire : regard sur la qualité des encadrés explicatifs sur les fractions. Vivre le primaire, 36(4), 12-15.

Alahmadati, A. A. (2016). Autour du concept de fraction à l’école primaire en France [Thèse de doctorat, Université de Lyon]. HAL theses. https://halshs.archives-ouvertes.fr/tel-01302152/document

Ashlock, R. (2006). Error patterns in computation: Using error patterns to improve instruction. Upper Saddle River, NJ: Pearson/Merrill Prentice Hall. . https://www.pearsonhighered.com/assets/samplechapter/0/1/3/5/0135009103.pdf

Birgin, O. et Uzun Yazıcı, K. (2021). The effect of GeoGebra software–supported mathematics instruction on eighth‐grade students' conceptual understanding and retention. Journal of Computer Assisted Learning, 37(4), 925-939.

Blouin, P. (2002). Dessine-moi un bateau: la multiplication par un et demi. Éditions Bande didactique.

Cheng, P. C.-H. (1999). Unlocking conceptual learning in mathematics and science with effective representational systems. Computers & Education, 33(2-3), 109-130.

Jordan, C., Hansen, N., Fuchs, L., Siegler, R., Micklos, D. et Gersten, R. (2013). Developmental predictors of conceptual and procedural knowledge of fractions. Journal of experimental child psychology, 116(1), 45-58.

Kilpatrick, J., Swafford, J. et Findell, B. (2001). Adding it up: Helping children learn mathematics. The National Academies Press.

Ministère de l’Éducation de l’Ontario. (2006). Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 6e année: Fascicule 1. http://atelier.on.ca/edu/resources/guides/GEE_math_M_6_fasc1.pdf

Morales, Z. A. (2014). Analysis of students’ misconceptions and error patterns in mathematics: The case of fractions. https://digitalcommons.fiu.edu/sferc/2014/2014/32/

O’Grady, K., Houme, K., Costa, E., Rostamian, A. et Tao, Y. (2019). Rapport de l’évaluation pancanadienne en mathématiques, en lecture et en sciences. Conseil des ministres de l’Éducation. https://cmec.ca/Publications/Lists/Publications/Attachments/426/PCAP2019-Public-Report-FR.pdf

Rittle-Johnson, B., Siegler, R. S. et Alibali, M. W. (2001). Developing conceptual understanding and procedural skill in mathematics: An iterative process. Journal of educational psychology, 93(2), 346-362. https://doi.org/10.1037/0022-0663.93.2.346

Siegler, R. S., Fazio, L. K., Bailey, D. H. et Zhou, X. (2013). Fractions: The new frontier for theories of numerical development. Trends in cognitive sciences, 17(1), 13-19.

Van de Walle, J. A. et Lovin, L. H. (2008). L’enseignement des mathématiques : L’élève au centre de son apprentissage. ERPI.

Vermette, S. et Blouin, P. (2016). La nature des situations d’enseignement utilisées par de futurs enseignants de mathématiques pour contextualiser et expliquer la division de fractions [acte de colloque]. 49e colloque du Groupe de didactique des mathématiques du Québec (GDM) : La diversité des mathématiques: dimensions sociopolitiques, culturelles et historiques de la discipline en classe, Université d’Ottawa.

Voyer, D., Forest, M.-P. et Adams, G. (2023). Additionner : en somme, ce n’est pas si simple ! Dans C. St-Jean, M. Dupuis-Brouillette et J.-C. Boyer (dir.), L’éveil aux mathématiques à l’éducation préscolaire et au premier cycle du primaire. Editions JFD. (p. 85-102).

Gabrielle Adams est doctorante en éducation à l’Université du Québec à Rimouski. Elle accomplit également diverses tâches comme chargée de cours, auxiliaire d'enseignement et de recherche. Elle s’implique au sein du Réseau de recherche et de valorisation de la recherche sur le bien-être et la réussite (RÉVERBÈRE) et du Centre de recherche interuniversitaire sur la formation et la profession enseignante (CRIFPE) à titre de représentante étudiante. Après avoir terminé son mémoire portant sur les classes flexibles, ses intérêts de recherche portent désormais sur la didactique des mathématiques et, plus particulièrement, sur le développement d’une compréhension conceptuelle des élèves du primaire.

Titulaire d’un doctorat en didactique des mathématiques obtenu à l’Université Laval, Dominic Voyer est professeur en didactique des mathématiques à l’Université du Québec à Rimouski, campus de Lévis. Il est codirecteur du Réseau de recherche et de valorisation de la recherche sur le bien-être et la réussite (RÉVERBÈRE) et chercheur au Laboratoire sur la recherche-développement au service de la diversité (Lab-RD²). Il s’intéresse au développement des compétences en numératie chez les jeunes élèves et notamment à la résolution de problèmes mathématiques.